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數學實驗視頻教程 5個文件 中國科技大學 精品課程
 數學實驗視頻教程 5個文件 中國科技大學 精品課程
 課程編號: ZKDJP_2612 課程格式:WMV格式
 課程折扣:3.3折, 熱賣中... 已加入收藏 2
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數學實驗視頻教程 5個文件 中國科技大學 精品課程 課程介紹:
WMV格式
《數學實驗》是在我國高等學校中新開設的一門課程。現在還處于試點和摸索階段,有許多不同的想法和作法. 現階段應當鼓勵各種不同的想法和作法, 各自進行探索和試點. 可以而且應當相互交流, 但不必統一, 也不必爭論哪種做法更好. 現在首先是要先干起來, 經過若干年實踐去積累和總結經驗, 根據實踐的效果來逐漸完善和成熟. 本教學大綱反映的是我們在中國科技大學試點創建數學實驗課程的指導思想和具體做法,只能算是一家之言,供兄弟學校參考。

一. 教學目的

    數學實驗課程的教學對象, 是全國所有高校, 不分理工農醫等科類的本科生。課程目的, 是使學生掌握數學實驗的基本思想和方法,即不把數學看成先驗的邏輯體系, 而是把它視為一門“實驗科學”, 從問題出發,借助計算機, 通過學生親自設計和動手, 體驗解決問題的過程, 從實驗中去學習、探索和發現數學規律。
    既然是實驗課而不是理論課, 最重要的就是要讓學生自己動手, 自己借助于計算機去“折騰”數學, 在“折騰”的過程中去學習, 去觀察, 去探索, 去發現,而不是由老師教他們多少內容。既不是由老師教理論, 主要的也不是由老師去教計算機技術或教算法。不著意追求內容的系統性、完整性。而著眼于激發學生自己動手和探索的興趣。

二. 教學內容的確定

    從問題出發組織教學內容。雖然有意識讓學生通過實驗學會一些基本的方法, 但是并不以這些方法為線索組織課程內容。而是設計了一些能夠引起學生興趣的問題, 這些問題的引入不需很深的數學知識,便于入門,但這些問題具有深刻的內涵,包括科學發展歷史上經典的數學問題,以及具有應用價值的問題。每個實驗圍繞解決一個或幾個問題來展開, 教學生使用若干種方法來解決所給的問題, 在解決問題中學習和熟悉這些方法, 自己觀察結果, 得出結論。并激發進一步學習的興趣。
    盡管數學專業和非數學專業的學生的數學課程的難易程度有很大的差別, 但數學實驗課對他們來說卻不必有多大的差別, 基本的部分完全可以是共同的, 只有一些理論較深的部分可以根據各自的情況有所取舍。所以, 在開課時完全可以將數學系學生和非數學系數學一起上課。
    數學實驗可以包括兩部分主要內容: 第一部分是基礎部分, 圍繞高等數學的基本內容, 讓學生充分利用計算機及軟件的數值功能和圖形功能展示基本概念與結論, 去體驗如何發現、總結和應用數學規律。另一部分是高級部分,以高等數學為中心向邊緣學科發散, 可涉及到微分幾何, 數值方法, 數理統計,圖論與組合, 微分方程, 運籌與優化等, 也可涉及到現代新興的學科和方向, 如分形、混沌等。這部分的內容可以是新的, 但不必強調完整性, 教師介紹一點主要的思想, 提出問題和任務, 讓學生嘗試通過自己動手和觀察實驗結果去發現和總結其中的規律。即使總結不出來也沒有關系, 留待將來再學, 有興趣的可以自己去找參考書尋找答案。

三. 主要教學內容和教學目標

實驗一、微積分基礎:
學習使用 Mathematica 的一些基本功能來驗證或觀察得出微積分學的一些基本結論。例如:函數圖象,導數的符號與函數的遞增、遞減、極值的關系,泰勒逼近,傅立葉逼近,無窮乘積逼近,e 的產生,調和級數與自然對數的關系等。
實驗二、怎樣計算 p :
利用數值積分、泰勒級數、蒙特卡羅法等各種方法計算p 的近似值。結合計算p 的近似值學會應用這些方法。
實驗三、最佳分數近似值:
仍以p為例,通過實驗的方法說明怎樣用分母小、誤差小的分數近似值逼近實數,引出連分數理論。
實驗四、數列與級數:
通過實驗和觀察,發現和驗證一些數列與級數的規律。
實驗五、素數:
實驗研究有關素數的一些問題,如:素數的判別,分布,哥得巴赫猜想,大整數的素因子分解等。
實驗六、概率:
利用計算機產生隨機數的功能,模擬各種隨機現象,通過觀察這些現象總結和驗證概率統計知識。
實驗七、幾何變換:
觀察各種變換(線性變換、射影變換、非歐幾何變換、復變換等)下平面圖形的變化情況及不變量,體驗幾何學的核心:愛爾蘭根綱領。
實驗八、天體運動:
在計算機上模擬產生天體運動、電場作用等物理現象,學到微分方程的數值解等數學方法。
實驗九、迭代(一)--方程求解:
通過迭代求方程的近似解。
實驗十、尋優:
以光的折射、最小二乘法等為例,試驗各種優化方法的原理和方法。
實驗十一、最速降線:
利用計算機求多元函數極值的功能,用實驗的方法求解最速降線問題。而這個問題的理論解涉及到比較深的數學(變分法)。
實驗十二、迭代(二)--分形:
利用計算機迭代過程畫分形圖形,在欣賞美麗的分形圖案的同時對分形幾何這門學科有一個直觀的了解。
實驗十三、迭代(三)--混沌:
從一個簡單的二次函數的迭代出發,認識混沌現象及其所蘊涵的規律性。
實驗十四、密碼:
在計算機上自己嘗試加密和破譯的一些基本方法和原理。
實驗十五、初等幾何定理的機器證明:
嘗試將幾何定理代數化并利用計算機證明的過程。

四. 教學方式和方法

    開設數學實驗課以二年級或一年級下學期為宜, 讓學生學過高等數學中必要的基本概念即可, 不必學過很多的數學定理。這樣, 就可以有比較多的未知的東西供他們去探索。已學的東西太多, 學生對探索的興趣反而下降。
    每學期安排9個實驗, 每兩周做一個實驗。每次實驗先由教師講兩個課時, 兩周中的其余 3次課都是安排學生上機, 教師輔導, 希望學生在兩周中完成實驗作業。教師主要是提出問題, 適當介紹問題的背景, 介紹主要的實驗原理和方法。然后就讓學生自己動手去做, 去觀察, 通過觀察得出結論。教師不宜花時間去作理論推導, 最好也不要預先告訴學生實驗的結果, 實驗結果讓學生自己去觀察得出。在教學過程中, 有的學生希望少講一些理論, 多給他們留一些自己探索的空間; 也有的學生希望多講一些理論。能夠通過實驗使學生希望多學理論, 這就是好事情。將學生學習數學理論的興趣激發起來了, 胃口吊起來了, 這門課的目的就達到了。數學實驗是“開胃湯”, 而不是大餐。胃口吊起來之后希望多“吃”一些, 請他們到正規的“餐館”去, 通過看參考書和學習其它課程來滿足對于理論學習的渴求。
    一個突出的問題是課程內容和作業的分量。實踐結果, 學生普遍反應作業任務比較繁重。但實驗所涉及到的數學知識難度并不大,主要的困難在于學生的計算機水平不夠, 因此完成作業要花很多時間。他們雖然也學過或正在學計算機課程, 但學過不用就忘了。數學實驗課幾乎是逼迫學生重新揀起或現學現用計算機知識, 用來完成作業,當然就顯得緊張了。看來, 一學期做 5個實驗比較適中, 也能達到讓學生動手體驗數學的目的。但實驗涉及的內容嫌單薄了些。設想可以這樣解決: 老師上課仍然安排 9 至10 個實驗, 但學生不必在這學期內全部完成, 可以在下學期自己將它補作完, 交出實驗報告。教材中寫了15個實驗, 有興趣的學生可以自己抽時間選作。
    實驗課評定成績的主要依據是平時的實驗報告。當然也可以集中做一兩個綜合性較輕的實驗,將其實驗報告作為考試試卷。實驗報告的評分的最基本標準是要自己動手, 要寫上自己觀察到的現象并進行分析。實話實說, 不能造假, 哪怕觀察到的現象與預計不一致,或者與理論推導的結果不一致, 也不能在實驗報告中說假話, 而應當分析其原因,找出改進的辦法, 重做實驗, 重新得出結論。對實驗報告的更高的標準是創造性。對于有創造性的報告, 要給以高分作為鼓勵。教師批改了實驗報告之后, 要在下一次實驗開始時, 對以前的實驗中出現的優點和缺點進行評講, 包括讓學生參加討論和演示。
    由于學生實驗的主要工具是計算機。教師的教學手段應盡量采用多媒體教學。課堂基本內容可用計算機幻燈片(powerpoint)顯示, 而且在課堂上演示用計算機軟件作出來的部分實驗的結果(包括圖形和計算結果等), 使課堂更生動, 教師的講解更貼近學生的實驗過程。對實驗報告評講時應盡量鼓勵學生介紹和演示自己的實驗結果。

五. 與相關課程的差別和聯系

     與計算方法、統計方法、優化方法等課程的區別和聯系: 數學實驗課盡管也要介紹和用到數值計算方法、統計方法、優化方法, 但是不應取代這些課程。 否則, 學生會失去興趣, 認為反正還要上這些課程, 何必上數學實驗課呢? 為劃清這一界限, 我們主張, 數學實驗課所用到的方法應當比較簡單和淺顯, 可以由高等數學課程中的內容很快推出來, (其推導難度只應相當于高等數學作業題), 而不需要花時間和精力作專門的講解。而關于專門的、比較精細的專門方法的講解,則留給這些課程去完成。當然, 這些課程本身也應改革, 不能紙上談兵, 也應有學生自己動手實踐作為重要環節。
    與數學建模課的區別和聯系: 數學建模與數學實驗課都要用到計算機。但數學建模課是讓學生學會利用數學知識和計算機手段來解決實際問題, 而數學實驗課是在計算機的幫助下學習數學知識。一個是用, 一個是學, 兩者的目標不同。從選材來說, 我們主張兩者都要從問題出發而不從概念出發。但數學建模強調問題的實用性而不強調普遍意義, 解決問題本身就是目的; 而數學實驗課可以從理論問題出發, 也可由實際問題出發, 但這個理論問題或實際問題最好是比較經典的、具有普遍意義, 讓學生以解決問題為線索總結規律, 學到知識。
    與高等數學課的區別和聯系: 都是為了學知識, 但學習方法很不相同。高等數學課主要是由教師傳授知識, 而數學實驗課則希望通過學生自己動手和觀察去“重新發現”這些知識。
    與計算機課程的聯系: 對于非計算機專業的學生來說, 計算機知識 (包括計算機語言以及軟件的使用等) 只是一種工具。計算機知識應當結合解決一定的問題來學,學了就要用來解決問題, 才有興趣學, 才能學得會, 才不會忘記。數學實驗課為計算機課程提供了大量真刀真槍的練習機會。二者的結合勢必真正提高學生對于計算機知識的掌握水平和應用的能力, 使計算機課程可以用更少的課時取得更好的效果。

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