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數學物理方法 復變函數 數學物理方程 視頻教程 80講 北京大學 精品課程 容量共13.0G
 數學物理方法 復變函數 數學物理方程 視頻教程 80講 北京大學 精品課程 容量共13.0G
 課程編號: BJDX_JPKC_6227 課程格式:MP4格式
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數學物理方法 復變函數 數學物理方程 視頻教程 80講 北京大學 精品課程 容量共13.0G 課程介紹:
MP4格式

數學物理方法 復變函數 數學物理方程 視頻教程 80講 北京大學 精品課程
數學物理方法
數學物理方法
數學物理方法 

吳崇試,男,北京大學物理學院教授、博士生導師。曾兼任中國高等科學技術中心協會成員、中國科學院理論物理研究所客座研究員和蘭州重離子加速器國家實驗室原子核理論中心客座研究員。1996年被推舉為高等數學物理方法教學研究會理事會主任委員。1993年起享受政府特殊津貼。

數學物理方法(第二版), 吳崇試 編 著,北京大學出版社 2003年。普通高等教育“十五”國家級規劃教材

本教學大綱由教育部物理學與天文學指導委員會、專業物理與應用物理指導組討論通過。(1998年)。

      本課程物理專業教學大綱(90學時,包括習題課)

       一、課程的目的與任務
  本課程為物理系物理專業所開設,也可供應用物理專業參考。

  本課程在高等數學(一元和多元微積分、冪級數和Fourier級數、微分方程、場論、線性代數)和普通物理(力學、熱學、電學)的基礎上,以講授古典數學物理中的常用方法為主,適當介紹近年來的新發展,為后繼的基礎課程和專業課程研究有關的數學物理問題作準備,也為今后工作中遇到的數學物理問題的求解提供基礎。

      二、內容和參考學時
       1.  復數和復變函數  (2學時)
            復數及其運算規則 復數的幾何表示 復數序列  復變函數  復變函數的極限和連續 無窮遠點      

       2.  解析函數 (4學時)
            導數 解析函數 初等函數 多值函數{z-a} 多值函數ln (z-a) 解析函數的幾何性質      

       3.  復變積分 (4學時)
            復變積分 單連通區域的Cauchy定理 復連通區域的Cauchy定理 Cauchy積分公式  解析函數的高階導數公式      

       4.  無窮級數(8學時)
            復數級數 函數級數 含參量的積分的解析性 冪級數 解析函數的Taylor展開 Taylor級數求法舉例 解析函數的Laurent展開 
            級數求法舉例 單值函數的孤立奇點       

       5.  二階線性常微分方程的冪級數解法    (4學時)
            二階線性常微分方程的常點和奇點 在方程常點鄰域內的解 在方程正則奇點鄰域內的解 Bessel方程的解       

       6.  解析延拓 (1學時)
            解析函數的零點孤立性和解析函數的唯一性 解析延拓
       7.  留數定理及其應用  (6學時)
            留數定理 有理三角函數的積分 無窮積分 含三角函數的無窮積分 實軸上上有奇點的情形 多值函數的積分 留數定理的其它應用     

       8.  Gamma 函數 (3學時)
            Gamma函數的定義 Gamma函數的基本性質 Psi函數 B函數
    
       9.  Laplace變換 (4學時)
            Laplace變換 Laplace變換的基本性質 Laplace變換的反演 普遍反演公式     

       10. 數學物理方程和定解條件 (4學時)
             弦的橫振動方程 桿的縱振動方程 熱傳導方程 穩定問題 邊界條件與初始條件 內部界面上的連接條件 定解問題的適定性 

       11. 線性偏微分方程的通解 (4學時)
            線性偏微分方程的解的疊加性 常系數線性齊次偏微分方程的通解 常系數線性非齊次偏微分方程 特殊的變系數線性齊次偏微分方程 波動方程的行波解

       12. 分離變量法 (4學時)
             兩端固定弦的自由振動 矩形區域內的穩定問題 多于兩個自變量的定解問題 兩端固定弦的強迫振動 非齊次邊界條件的齊次化 

       13. 正交曲面坐標系 (4學時)
            正交曲面坐標系 正交曲面坐標系中的Laplace算符 Laplace算符的平移、轉動和反射不變性 Helmholtz方程在柱坐標系下的分離變數 Helmholtz方程在球坐標系下的分離變數 圓形區域 

       14. 球函數 (7學時)
             Legendre多項式  Legendre多項式的微分表示 Legendre多項式的正交完備性 Legendre多項式的生成函數  Legendre多項式的遞推關系 連帶Legendre函數和球面調和函數  

       15. 柱函數 (7學時)
             Bessel函數的基本性質  Neumann函數  Bessel方程的本征值問題 含Bessel函數的積分  Hankel函數 虛宗量Bessel函數 半奇數階Bessel函數 球Bessel函數

      16. 分離變數法總結 (4學時)
            內積空間和函數空間  自伴算符的本征值問題  Sturm--Liouville型方程的本征值問題 從Sturm--Liouville型方程本征值問題看分離變數法

      17. 積分變換的應用 (2學時)
            Laplace變換  Fourier變換 小波變換的基本思想 

      18. 非齊次方程與Green函數方法} (8學時)
            函數  Green函數的概念 常微分方程初值問題的Green函數 穩定問題Green函數的一般性質 三維無界空間Helmholtz方程的Green函數 圓內Poisson方程第一邊值問題的Green函數 波動方程或熱傳導方程的Green函數 

      19. 變分法初步 (4學時)  
            泛函的概念 泛函的極值 泛函的條件極值 微分方程定解問題和本征值問題的變分形式 Ritz方法 

      20. 數值解法 (2學時)
            數值微商 二階偏微分方程的有限差分法 

      21. 結束語 (4學時)
            二階線性偏微分方程的分類 數學物理方程的反問題 非線性偏微分方程問題

       三、幾點說明

      1. 對于本大綱所列內容與學時分配建議,教師可根據各校實際情況適當取舍調整。
2. 本課程包括復變函數和數學物理方程兩部分。前者系統介紹解析函數的基本性質及其應用;后者主要包括分離變量法和Green函數方法以及最常用的兩類特殊函數。基本內容的學時應予保證。
   3. 在保證基本要求的基礎上,應適當介紹一些近年來發展起來的新內容、新方法,如反問題、非線性問題和小波變換等。
   4. 非線性偏微分方程問題可以KdV方程為例。
   5. 建議安排9次習題課,內容分別為:解析函數和多值函數;解析函數的冪級數展開;Gamma$函數和Laplace變換;留數定理及其應用;常微分方程級數解法;分離變量法;球函數;柱函數;Green函數。 


 

      本課程應用物理專業教學大綱(54學時,不包括習題課)

       一、課程的目的與任務
  本課程為物理系應用物理專業所開設。

  本課程在高等數學(一元和多元微積分、冪級數和Fourier級數、微分方程、場論、線性代數)和普通物理(力學、熱學、電學)的基礎上,以講授古典數學物理中的常用方法為主,適當介紹近年來的新發展,為后繼的基礎課程和專業課程研究有關的數學物理問題作準備,也為今后工作中遇到的數學物理問題的求解提供基礎。
        二、內容和參考學時

         1.  復變函數及其導數 (2學時)
              復變數及復變函數 導數 解析函數        

         2.  復變積分 (2學時)
               復變積分 Cauchy定理 不定積分 Cauchy積分公式

         3.  無窮級數 (6學時)
             復數級數 函數級數 冪級數 Taylor展開 Laurent展開 單值函數的孤立奇點 留數定理      

         4.  常微分方程的冪級數解法 (6學時)
              常微分方程的常點和奇點 在方程常點鄰域內的解  在方程正則奇點鄰域內的解 Sturm--Liouville型方程的本征值問題

         5.  數學物理方程和定解條件 (6學時)
              弦的橫振動方程 熱傳導方程 靜電場的Poisson方程和Laplace方程 定解條件 二階線性偏微分方程的分類與化簡        

         6.  分離變量法 (10學時)
             線性方程的疊加原理 兩端固定弦的自由振動 兩端固定弦的強迫振動 有界桿的導熱問題 矩形區域內的穩定問題 圓形區域 非齊次邊界條件的齊次化  Green函數的基本概念(基本解)  

         7.  積分變換的應用(4學時)
             Laplace變換 Fourier變換

         8.  Legendre多項式與球函數 (6學時)
              球坐標系中Laplace方程的分離變量  Legendre方程及連帶Legendre方程 Legendre多項式的基本性質(微分表示、積分表示、生成函數、遞推關系、正交完備性) 按Legendre多項式展開 連帶Legendre函數和球面調和函數 

         9.  柱函數 (6學時)
             柱坐標系中Laplace方程和Helmholtz方程的分離變量  Bessel函數的基本性質(遞推關系、正交完備性) 按Bessel函數展開
虛宗量Bessel函數  球Bessel函數(初等函數表示、正交完備性) 按球Bessel函數展開

       10. 數值解法(2學時)
            數值微商 二階偏微分方程的有限差分法

       11. 非線性偏微分方程問題 (2學時)
            KdV方程的導出 淺水波的孤波解
 

       三、幾點說明
      1. 對于本大綱所列內容與學時分配建議,教師可根據各校實際情況適當取舍調整。
        2. 本課程以數學物理方程為主,著重介紹分離變量法和最常用的兩類特殊函數。
   3. 按照數學物理方程部分的要求,選擇復變函數部分的教學內容,以提供必要的數學基礎。
在費時不多的條件下適當照顧數學的系統性。數學闡述中,以正確理解、熟練應用定理結論為主,主要定理給出證明,但嚴格性只作適當要求。
   4. 習題課可按實際需要安排。

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